Le api in natura costruiscono i favi dove depositano, in celle, il raccolto e allevano la covata.La costruzione avviene con cera prodotta dalle api che viene secreta da otto piccole ghiandole situate sotto l'addome. Viene secreta in forma di fluido che solidifica rapidamente, forse per reazione chimica.Un favo è composto di due facce con celle a sezione esagonale.

Non costruiscono le celle a sezione circolare, come fanno i bombi, perché sprecherebbero cera, invece risparmiano cera in modo che ogni parete serva ogni volta per dividere due celle.

Ci sarebbero altre possibilità per costruire le celle affinché una parete divida due celle, sezione triangolare e quadrata. Tra queste possibilità, (triangoli, quadrati, esagoni) qual è quella più economica? In matematica è un problema di minimo.

La quantità di cera occorrente è minima quando il perimetro di un poligono, di superficie assegnata,è il più piccolo possibile.

Calcoliamo il perimetro di un triangolo, di un quadrato e di un esagono con superficie assegnata.Sia la superficie uguale a 1 (S=1) e rispettivamente L3, P3, L4, P4, L6, P6, lati e perimetri del triangolo del quadrato e dell'esagono.

Per il quadrato L4=1; P4=4; S=1.
Per il triangolo P3=3*L3; S=(L3*L3*RADICE QUADRATA DI 3)/4.
Per l'esagono P6=6*L6; S=(6*L6*L6*RADICE QUADRATA DI 3)/4.

Con facili calcoli si ricavano L3, L6 e quindi P3, P6.

I valori numerici, a partire dalla superficie uguale a 1 (S=1), sono P4=4 e con tre cifre decimali P3=4.559 e P6=3.722.

Il perimetro più piccolo è P6, dunque si consuma meno cera costruendo le celle a sezione esagonale.
Le api conoscono la soluzione del problema? Da dove viene la capacità a costruire celle esagonali?
Ma dove l'istinto delle api fa qualche cosa di meraviglioso è nella costruzione del fondo delle celle, perché rispondendente a un minimo di superficie e quindi di cera. Infatti il fondo delle celle non è piatto ma è cuspidato.
Abbiamo detto che la sezione delle celle è esagonale, ma la cella stessa è a forma di prisma cavo con fondo cuspidato. Nelle due facce del favo le celle non sono esattamente opposte, poiché all'asse dell'una corrisponde nella faccia opposta del favo la costola comune a tre celle. Il fondo di ciascuna non è un piano perpendicolare ai lati delle celle, il fondo è costituito da tre losanghe uguali formanti una superficie concava.

Anche l'alveolo è costruito con un minimo di superficie.

Altro problema di minimo: fra tutte le celle esagonali a fondo, composte di tre losanghe uguali, determinare quella che può essere costruita con il minimo di materia.

Il problema è stato risolto dall'inglese Mac Laurin nel 1743, confermando le misure effettuate da Maraldi nel 1712. Maraldi misurò con esattezza l'angolo delle losanghe delle celle e trovò 109°28'.

Tralasciando la dimostrazione di MacLaurin, con il fondo cuspidato, a differenza di un fondo piatto, le api economizzano una cella su 55.Nella apicoltura razionale si preparano favi artificiali, con cera d'api, di forme identiche a quelle dei favi naturali per far risparmiare lavoro alle api.

Giacomo Omallini