Economia dello spazio nella geometria dell'alveare

Possiamocercare di scoprire e capire i motivi e le regole che aiutano le api arealizzare ciò di cui si sente la necessità; esse, guidateda un istinto infallibile, hanno scelto nella costruzione delle celle lasoluzione migliore: quella che a parità di cera impiegata percostruirle,  e quindi a parità di superficie laterale, avràla massima capacità di contenere il miele, ed  è perquesto che  vengono chiamate  "insetti geometri". 
L’ape cerca di sistemare le celleil più vicino possibile per avere un alveare compatto, evitare sprechidi spazio, creare una forma facile da pulire oltre che da costruire. Usandocelle circolari viene risolto solo il problema della compattezza e dellafacile pulizia, ma restano spazi vuoti tra cella e cella e non c’èrisparmio di cera. Bisogna fare un tipo di tassellatura che non lasci interspazi,e questo è possibile solo con il triangolo equilatero o con il quadratoo con l’esagono regolare: sei triangoli equilateri, quattro quadrati, treesagoni regolari attaccati  danno un angolo giro ovvero 360°.Ma quale sarà la soluzione migliore? Sarà quella che a paritàdi cera  necessaria per costruire avrà la massima capacità. 
Tenendo presente che in un prisma ilvolume è proporzionale alla sezione mentre l’area laterale èproporzionale  al perimetro, l’ape "pensa bene" di lavorare sui perimetri e sulle aree,  "dotata" di un istinto eccezionale, dal momentoche  per noti teoremi dovuti al matematico Zenodoro sappiamo che: 

1) Se due poligoni hanno uguale perimetro  ed uno di essi èregolare  allora quest’ultimo ha area maggiore.

2) A parità di perimetro di due poligoni regolari, ha areamaggiore quello che ha il maggior numero di lati.

Quindi l’ape, tra triangolo equilatero, quadrato ed esagono regolare,sceglie  l’esagono regolare, unendo così insieme esigenze dieconomia e di lavoro. 
Ma ciò che costituisce il particolare più significativodal punto di vista geometrico  è proprio la base della stessacella. Infatti le celle esagonali sono costruite a forma di prisma e leggermenteinclinate con l’apertura verso l’alto, per poter contenere una sufficientequantità di miele e di polline senza che questo coli all’esterno.
I fondi delle celle sono incastrati in modo preciso e regolare, cosìche l’ape risparmia energia nella produzione della cera, fatica nel lavorodi costruzione e anche materiale, in modo da non appesantire l’alveare.Il mirabile incastro nel fondo è fatto con tre rombi inclinati sullefacce laterali di 109°28’. 
Lo studio completo della cella fu fatto dall’astronomo G. F. MARALDI(1665-1729); anche altri matematici  e fisici dello stesso periodo,come MAC LAURIN (1698-1746) e REAUMUR (1683-1757), si occuparono di questoproblema e diedero eleganti soluzioni sia per via geometrica elementare,sia con calcoli trigonometrici  confermati successivamente dall’analisimatematica: l’inclinazione con cui i rombi dei fondi sono inclinatisulle facce laterali di 109°28’  non è a caso, ma èun’inclinazione ottimale per far sì che le celle vengano costruitecon il minimo spreco di cera.
 

 


 

Tratto dalla relazione della Prof. DellaPina Danella  in occasione dell'inaugurazione del

"museo del miele" avvenuta a Calice alCornoviglio (SP) il 24 Settembre 2000